Cours de mathématiques supérieures by V. Smirnov

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1-20. Equations intégrales à noyau itéré régulier. On se propose maintenant d'examiner le produit de deux opérateurs intégraux à noyaux polaires dans le cas linéaire (n = 1). Dans le tome V on donnera une démonstration détaillée pour n quelconque. Soient donc deux noyaux polaires de la forme b KtUt = Vi (s) = r L (s, t~ J 1 s-tl t Ut (t) dt; a b K 2U 2 = V2 (s) = ) ~s2~'t ~~ a 5-0727 U2 (t) dt, CH. 1. EQUATIONS INTEGRALES 66 où Li (s, t) sont continus dans k o et 0 ~ ex, ~ < 1. Le produit K"K 1 de ces opérateurs est un opérateur intégral de noyau b M (s, t) = f L 2 (s, 't) Li ('t, t) Ja 1s - 't 1~ l 't - t la.

Et écrivons les équations adjointes: ; Icp, (s) " , , b = Â ~,L (s, t) cp (t) dt, (74) 8)'1' (t)dt. (t-)'" (t) dt. Soit cp (s) une solution quelconque de l'équation (741). Multiplions les deux membres de (74 1) par'" h (s), où k est l'un quelconque des nombres 1, 2, ... ,m et intégrons par rapport à s: b 5 b b J[Â 1K ($, t) '1'k (s) ds Icp(t)dt- i:J a a cp (s) '1'k (s) ds= ' m - Â b ~ ~q>i,(t)

Pour que l'équation (42) SQit soluble, il est nécessair,e que f (s) satisfasse à la condition (66), où '1' (s) est une solution quelconque de l'équation (65) qui peut être non nulle puisque par 'hypothèse A est une valeur caractéristique. 2) admet une solution quelle que soit f (s). Donc a lieu le . ,. " Thé 0 r ème 7. On a l'alternative: ou bien l'équation intégrale (42) admet une solution quelle que soit f (s) et l'équation homogène (61) 40 OH. I. :2QUATIONS INT:&GRALES n'admet que la solution nulle, ou bien l'équation homogène (61) admet des solutions non nulles et 1'équation (42) possède des solutions pour certaines f (s).

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