Algèbre commutative: Chapitres 1 à 4 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce most excellent quantity du Livre d Algèbre commutative, septième Livre du traité, est consacré aux recommendations fondamentaux de l algèbre commutative. Il comprend les chapitres: 1. Modules plats; 2. Localisation; three. Graduations, filtrations et topologies; four. Idéaux premiers associés et décomposition primaire.

Il contient également des notes historiques.

Ce quantity est une réimpression de l édition de 1969.

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Example text

Soit E u n A-module à droite. Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes : a) Pour qu'une suite N' z>N % N u de A-modules à gauche soit exacle, il faut et il s u f i t que l a suite i@v E@-4N'-+E@aN l@w -+E@aNr' soit exacle. b ) E est plat, et pour tout A-module a gauche N , la relation E @a N = O entraîne N = 0. c) E est plat, et pour tout homoinorphisme v : N' -t N de A-modules à gauche, l a relation l x @ v = O entraîne v = 0. d ) E est plat, et pour tout idéal à gauche maximal m de A, o n a E # Em.

8) Tout A-module à droite est plat. On dit alors que A est un anneau absolument plat (*). (Pour voir que a) implique P), utiliser l'exerc. , chap. ) 7 18)Soit A un anneau absolument plat (exerc. 17). a) Soit P un A-module à droite projectif. Montrer que tout sousmodule E de type fini de P est facteur direct de P. ((Se ramener au cas où P est libre de type fini. Remarquer alors que P/E est de présentation finie, et utiliser l'exerc. 15). b) Montrer que tout A-module à droite projectif P est somme directe de sous-modules monogènes, isomorphes à des idéaux à droite monogènes de A.

6. 6 . Anneaux fidèlement plats et conditions de flnitucle. P i ~ o r o s r ~ r o11. n - Soient B un a n n e a u et A u n sous-anneau de B [el que B soit u n A-module à droite lidèlement plat. P o u r q u ' u n A-module à gauche F soit de type fini (resp. de présentation finie), il faut et il s u f i t que le B-module B @A F soit de type fini (resp. de présentation finie). 10 Sans hypothèse sur B, il est clair que si F est un A-module à gauche de type fini, B RAF est un B-module à gauche de type fini.

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