Éléments de Mathématique: Algèbre: Chapitre 9 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

Formes sesquilinéaires et formes quadratiques

Les Éléments de mathématique de Nicolas BOURBAKI ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce neuvième chapitre du Livre d’Algèbre, deuxième Livre du traité, est consacré aux formes quadratiques, symplectiques ou hermitiennes et aux groupes associés.

Il contient également une word historique.

Ce quantity est une réimpression de l’édition de 1959.

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En effet, en posant s = s+, d = ds pour abréger, on déduit de d = ES que s-l = Ëd-l, s étant semilinéaire. Par suite, quels que soient u, v dans E , on a %(u, V)= @(s-l(u),d-l(v)) = E@(d-l(u),d-'(v)), - A d'où @(O,U) = EE@(~-'(u), d-10) =E ~ ( uv ), , puisque, E est dans le centre de A. Enfin, lorsque l'anneau A est commutatif, les prolongements canoniques d'une forme E-hermitienne @ aux puissances tensorielle P P et extérieure @E et /I\E de E sont des formes EP-hermitiennes, comme il résulte aussitôt des formules (35) et (37) du $1,no 9.

3 du no 4. (Remarquer que les xi = 1C3 xt forment un système de générateurs de A' @, E, et que le A'-module A' @, E est isomorphe à AIQ)/R', où A'(') est identifié à A' @, Ac1) e t R' est engendré par l'image de R par l'application canonique de A@)dans Af(I)). l (resp. :E, 9) le A-module des formes bilinéaires alternées (resp. bilinéaires symétriques, quadratiques) sur E. l, de la façon suivante : pour toute forme bilinéaire 0 E Cf, a ( @ ) est la forme quadratique x + @(x,x), et pour toute forme quadratique Q E 2, 8(Q) est la forme bilinéaire associée à Q, qui est -1 -1 alternée.

De la prop. 7) et est donc composée directe de n corps isomorphes à A' (chap. VIII, § 6, no 4, cor. de la prop. 9). Si S' désigne la base canonique d e B' (identifiée a A'"), on a D,,IA,(S') = 1, d'où D,,,,,(S) # O (prop. 1) et DBIA(S) # O (formule (6)). Réciproquement supposons que l'on ait D,,,(S) f O. Pour montrer que B est séparable, il suffit de montrer que Br est semisimple, c'est-à-dire qu'elle n'admet pas d'élément nilpotent # O. Or, si x' était un élément nilpotent non nul de Br, on pourrait le prendre comme premier élément d'une base S' de B', et on aurait alors Tr,,,,,(x'y1) = O pour tout y' E S' puisqu'un endomorphisme nilpotent a ses valeurs propres nulles (chap.

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